设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)中a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,用反证法证明方程f(X)=0无整数根

题目

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)中a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,用反证法证明方程f(X)=0无整数根

答案

假设f(x)=0有实数根,并设其为x1
由已知：
f(0)=c为奇数
f(1)=a+b+c为奇数
所以a+b为偶数
a、b为两奇数或者两偶数
当a、b为两偶数时,ax1^2+bx1为偶数,显然不等于-c,即ax^2+bx+c≠0
当a、b为两奇数且x1不为偶数时,ax1^2为奇数,bx1也为奇数,ax1^2+bx1为偶数,也不等于-c,即ax^2+bx+c≠0
当a、b为两奇数且x1为偶数时,ax1^2+bx1为偶数,显然不等于-c,即ax^2+bx+c≠0
综上所述,当f(x)=0有实数根成立时,与所设条件矛盾,故f(x)=0无实数根