二次函数f(x)满足f(1-x)=f（1+x),f(0）=3,且图像在x轴上截得的线段长为4,1.求f(x)的解析式,

题目

二次函数f(x)满足f(1-x)=f（1+x),f(0）=3,且图像在x轴上截得的线段长为4,1.求f(x)的解析式,
2.设函数g(x)=f（x)-2(1-m)x,若g(x)在区间【-2,2】上是单调函数,求实数m的取值范围,求函数g(x)在x∈【0,2】的最大值

答案

1、由 f(1-x)=f(1+x) 可知,抛物线对称轴为 x= 1 ,
而抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4 ,因此抛物线与 x 轴的交点为（-1,0）、（3,0）,
设 f(x)=a(x+1)(x-3) ,则 f(0)=3 得 3=a*1*(-3) ,所以 a= -1 ,
因此 f(x)= -(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3 .
2、g(x)=f(x)-2(1-m)x= -x^2+2mx+3= -(x-m)^2+m^2+3 ,对称轴 x= m ,
由于 g(x) 在 [-2,2] 上是单调函数,
因此 m=2 ,
当 m= 2 时,g(x) 在 [0,2] 上为增函数,最大值为 g(2)=4m-1 .