如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中: (1)求证:∠EAF=45°; (2)△ECF的周长是否有变化?请说明理由.

如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中: (1)求证:∠EAF=45°; (2)△ECF的周长是否有变化?请说明理由.

题目
如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:

(1)求证:∠EAF=45°;
(2)△ECF的周长是否有变化?请说明理由.
答案
(1)证明:由已知得AB=AH,AE=AE,
又∵A到EF的距离为AH,∴∠B=∠AHE=90°,∴Rt△ABE≌Rt△AHE(HL).
∴∠BAE=∠HAE.
同理:∠DAF=∠HAF.
∴2∠EAF=∠BAD,∴∠EAF=45°.
(2)△ECF的周长没有变化;理由如下:
由Rt△ABE≌Rt△AHE得到BE=HE,
同理:DF=HF,
△ECF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=2AB.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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