已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上任一点求证:2AD的平方=BD的平方+CD的平方

题目

答案

过D作AB的垂线DE,交AB于E,作AC的垂线DF,交AC于F.
因为ABC是等腰直角三角形,所以BED和DFC也是等腰直角三角形,AEDF是矩形,可得
BE=DE=AF,DF=FC=AE,
ED的平方=BD的平方-BE的平方,FD的平方=CD的平方-CF的平方,
AD的平方=AE的平方+ED的平方=AF的平方+FD的平方
所以
2*AD的平方=AE的平方+ED的平方+AF的平方+FD的平方
=AE的平方+BD的平方-BE的平方+AF的平方+CD的平方-CF的平方
AE的平方=DF的平方=CF的平方,AF的平方=ED的平方=BE的平方
所以
2*AD的平方=BD的平方+CD的平方
所以,此题得证.

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