阅读理解: 课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题: 如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使得DE=
题目
阅读理解:
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(1)问题解决:
受到(1)的启发,请你证明下面命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
①求证:BE+CF>EF;
②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明;
(2)问题拓展:
如图3,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
答案
①延长FD到G,使得DG=DF,连接BG、EG.(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD),
∴CF=BG,DF=DG,
∵DE⊥DF,
∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.(4分)
②若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°,
由①知∠FCD=∠DBG,EF=EG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE
2+BG
2=EG
2,
∴BE
2+CF
2=EF
2;(3分)
(2)将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG.
∵∠C+∠ABD=180°,∠4=∠C,
∴∠4+∠ABD=180°,
∴点E、B、G在同一直线上.
∵∠3=∠1,∠BDC=120°,∠EDF=60°,
∴∠1+∠2=60°,故∠2+∠3=60°,即∠EDG=60°
∴∠EDF=∠EDG=60°,
∵DE=DE,DF=DG,
∴△DEG≌△DEF,
∴EF=EG=BE+BG,即EF=BE+CF.(4分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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