直线x+2y-3=0与圆x^2+y^2+x-6y+c=0交于P,Q两点,O为坐标原点,若OP垂直OQ,求c的值

题目

直线x+2y-3=0与圆x^2+y^2+x-6y+c=0交于P,Q两点,O为坐标原点,若OP垂直OQ,求c的值

答案

直线x=3-2y与圆x^2+y^2+x-6y+c=0相交,设交点坐标为P（x1,y1）,Q(x2,y2).因OP与OQ垂直,则向量0P×OQ=0即x1*x2+y1*y2=0……关系式1.
将直线x=3-2y及y=3/2-x/2分别代入圆x^2+y^2+x-6y+c=0中可得：
5y^2-20y+12+c=0及5x^2+10x+4c-27=0
由韦达定理有x1*x2=(4c-27)/5及y1*y2=(12+c)/5,代入关系式1可得：
(4c-27)*(12+c)=0,则c=27/4或-12