已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1,试用向量法求平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值

题目

答案

假设沿BC,BA,BB1方向的单位向量分别为e1,e2,e3.因为平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角就是平面A1BC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角,取A1C1中点E,连接BE,则BE垂直A1C1,B1E垂直A1C1,所以角BEB1是二面角
EB1=EB+BB1=EC1+C1B+BB1=1/2A1C1+C1C+CB+BB1=1/2(A1D1+D1C1)+C1C+CB+BB1=-1/2e1-1/2e2
EB=EC1+C1B=1/2(A1D1+D1C1)+C1C+CB=-1/2e1-1/2e2-e3
向量EB1*向量EB=|EB1||EB|cos<EB1,EB>=根号2/2*根号6/2cos<EB1,EB>=根号3/2cos<EB1,EB>=(-1/2e1-1/2e2)(-1/2e1-1/2e2-e3)=1/2
角B1EB=arccos（根号3/3)
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为根号3/3

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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