边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x2-（k+2）x+4k=0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．

题目

边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x²-（k+2）x+4k=0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．

答案

设直角边为a，b，（a＜b）则a+b=k+2，ab=4k，
因方程的根为整数，故其判别式为平方数，
设△=（k+2）²-16k=n²⇒（k-6+n）（k-6-n）=1×32=2×16=4×8，
∵k-6+n＞k-6-n，
∴

k−6+n＝32 k−6−n＝1

或

k−6+n＝16 k−6−n＝2

或

k−6+n＝8 k−6−n＝4

，
解得k1＝

45

2

（不是整数，舍去），k₂=15，k₃=12，
当k₂=15时，a+b=17，ab=60⇒a=5，b=12，c=13，
当k₃=12时，a+b=14，ab=48⇒a=6，b=8，c=10．
∴当k=15时，三角形三边的长为：5，12，13．
当k=12时，三角形三边的长为：6，8，10．

根据方程的根为整数，得到根的判别式为平方数，然后进行讨论求出k值，得到三角形三边的长．

本题考点：解一元二次方程-公式法；解二元一次方程组；根的判别式；勾股定理．

考点点评：本题考查的是解一元二次方程，根据直角三角形的直角边是整数，得到方程的根是整数，所以判别式是平方数，讨论求出k的值．然后求出直角三角形三边的长．