若抛物线x^2=2y的顶点是在抛物线上距离点A(0,a)(a>0)最近的点,求a的取值范围.
题目
若抛物线x^2=2y的顶点是在抛物线上距离点A(0,a)(a>0)最近的点,求a的取值范围.
作以(0,a)为圆心,a为半径的圆:x^+(y-a)^=a^
联立方程组得:2y+y^-2ay=0
y^+(2-2a)y=0
△=(2-2a)^≥0
a≤1
∴0<a≤1
但为什么△≥0?
圆与抛物线相切不是应该△=0吗?
^后面都漏了个“2”
就是平方
答案
作以(0,a)为圆心,a为半径的圆: x^2+(y-a)^2=a^2
联立方程组得:2y+y^2-2ay=0
y^2+(2-2a)y=0
y(y-(2a-2))=0
所以:y=0 及y=2a-2
如2a-2>0,则抛物线与圆将有三个交点(因y=2a-2对应正负两个x)
这时顶点不是在抛物线上距离点A(0,a)最近的点
如2a-2<=0,则y=2a-2<0不是方程的根,y^2+(2-2a)y=0 将只有y=0一个解,这时顶点是在抛物线上距离点A(0,a)最近的点
由2a-2<=0,得a≤1
∴0<a≤1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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