已知圆C的方程为x²+y²=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线
题目
已知圆C的方程为x²+y²=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线
切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右顶点和上顶点.(1)求椭圆T的方程
答案
原题:已知圆C的方程为x2+y2=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右顶点和上顶点.
(1)求椭圆T的方程;
(2)已知直线l与椭圆T相交于P,Q两不同点,直线l方程为y=kx+√ 3(k>0),O为坐标原点,求△OPQ面积的最大值.
分析:(1)利用点到直线的距离公式,求得另一条切线方程,与圆方程联立,从而可得直线AB的方程,由此可求椭圆T的方程;(2)直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理求出|PQ|,求出原点到直线l的距离,表示出三角形的面积,进而利用基本不等式,即可求得△OPQ面积的最大值.
(1)由题意:一条切线方程为:x=2,设另一条切线方程为:y-4=k(x-2)
则:|4-2k|/√﹙k²+1﹚=2,
解得:k=3/4,
此时切线方程为:y=3/4x+5/2
切线方程与圆方程联立,可得x²+(3/4x+5/2)²=4,从而可得x=-6/5,y=8/5,
则直线AB的方程为x+2y=2
令x=0,解得y=1,∴b=1;令y=0,得x=2,∴a=2
故所求椭圆方程为x²/4+y²=1
(2)联立
y=kx+√3
x²/4+y²=1
整理得(1+4k²)x²+8√3kx+8=0,
令P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=-8√3k/﹙1+4k²﹚,x1x2=8/﹙1+4k²﹚,
△=(8√3k)²-32(1+4k²)>0,即:2k²-1>0
又原点到直线l的距离为d=√3/√﹙1+k²﹚,|PQ|=√﹙1+k²﹚|x1-x2|,
∴S△OPQ=1/2|PQ|•d=√3/2|x1-x2|=√3/2√[(x1+x2)²-4x1x2]=2√6•√[﹙2k²-1﹚/(1+4k²)²]=2√6•√﹛﹙2k²-1﹚/[4(2k²-1)²+12(2k²-1)+9]﹜=2√6•√﹛1/[4(2k²-1)+12+9/﹙2k²-1﹚]﹜≤1
当且仅当k=√5/2时取等号,则△OPQ面积的最大值为1.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆相切,考查三角形面积的计算,考查基本不等式的运用,正确表示三角形的面积是关键.
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