在椭圆x²/9+y²/4=1上求一点M使点M到直线x+2y-10=10的距离最小,并求出最小距离

题目

在椭圆x²/9+y²/4=1上求一点M使点M到直线x+2y-10=10的距离最小,并求出最小距离

答案

在椭圆x²/9+y²/4=1上求一点M使点M到直线x+2y-10=0的距离最小,并求出最小距离 .
直线x+2y-10=0的斜率k=-1/2；
把椭圆方程改写成参数形式：x=3cosθ,y=2sinθ；
令椭圆的导数dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=-2cosθ/3sinθ=-(2/3)cotθ=-1/2；
故得cotθ=3/4；于是得sinθ=4/5,cosθ=3/5；从而得x=3cosθ=9/5,y=8/5；
即过椭圆上的点M(9/5,8/5)的切线平行于直线x+2y-10=0,因此该点到直线的距离·最小,
最小距离d=∣9/5+16/5-10∣/√(1+4)=5/√5=√5.
【原题的直线方程x+2y-10=10,是x+2y-10=0之误吧?】