求微分方程(dy/dx)+y=e^-x的通解

求微分方程(dy/dx)+y=e^-x的通解

题目
求微分方程(dy/dx)+y=e^-x的通解
答案
特征方程r+1=0
r=-1
通解y=Ce^(-x)
设特解y=axe^(-x)
y'=ae^(-x)-axe^(-x)
代入原方程得
ae^(-x)-axe^(-x)+axe^(-x)=e^(-x)
解得a=1
因此
特解y=xe^(-x)
通解为y=Ce^(-x)+xe^(-x)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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