已知关于x的方程|x-k|=(根号2/2)·k根号x在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k的取值范围.

题目

已知关于x的方程|x-k|=(根号2/2)·k根号x在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k的取值范围.

答案

首先k≥0因为左边绝对值一定要大于零
其次,由于y=x函数比y=根号x增长的快,画个图就知道如果在[k-1,k+1]区间有两个不等实根的话,当x=k+1和x=k-1时等式左边的值一定大于等于等式右边的值
可以得到不等式
|k-1-k| ≥ (√2/2)k√(k-1)
|k+1-k| ≥ (√2/2)k√(k+1)
即
(√2/2)k√(k-1)≤1  (eq. 1)
(√2/2)k√(k+1)≤1 (eq. 2)
由于k>0
(eq. 2)成立时(eq. 1)一定成立
解第二个不等式得到k≤1
所以0≤k≤1
当k=0时,等式化为|x|=0在[-1,1]区间只有一个实根,所以k不等于0
所以k的取值范围为0<k≤1,等下给你画个草图