矩阵A=第一行1 2 4第二行2 -2 2第三行4 2 1求A的特征值与所对应的特征向量

题目

矩阵A=第一行1 2 4第二行2 -2 2第三行4 2 1求A的特征值与所对应的特征向量

答案

设矩阵A的特征值为λ
则A-λE=1-λ 2 4
2 -2-λ 2
4 2 1-λ
令其行列式等于0,即
1-λ 2 4
2 -2-λ 2
4 2 1-λ 第3行减去第1行

=
1-λ 2 4
2 -2-λ 2
3+λ 0 -3-λ 第1列加上第3列
=
5-λ 2 4
4 -2-λ 2
0 0 -3-λ

按第3行展开
=(-3-λ) [(5-λ)(-2-λ) -8]
=0
化简得到：(-3-λ)(λ-6)(λ+3)=0,
所以方阵A的特征值为：λ1=λ2= -3,λ3=6
当λ= -3时,
A+3E=(4,2,4 ～ (2,1,2
2,1,2 0,0,0
4,2,4) 0,0,0）
得到其两个基础解系为
p1= 1 p2= 1
-2 0
0 -1
当λ=6时,
A-6E
=( -5,2,4 r1+2.5r2 r3-2r2 r2 /2
2,-8,2
4,2,-5)

～(0,-18,9
1,-4,1
0,18,-9)

～(1,0,-1
0,2,-1
0,0,0)
得到其基础解系为
p3= 2
1
2
所以这个三阶矩阵的特征值为：λ1=λ2= -3,λ3=6
其对应的特征向量分别是
p1= 1 p2= 1 p3= 2
-2 0 1
0 -1 2