设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex, 试确定常数α、β、γ,并求该方程的通解.

设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex, 试确定常数α、β、γ,并求该方程的通解.

题目
设二阶常系数线性微分方程y″+αy′+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex
试确定常数α、β、γ,并求该方程的通解.
答案

由:y=e2x+(1+x)ex得:
y′=2e2x+(2+x)ex
y″=4e2x+(3+x)ex
将y,y′,y″代入原微分方程,整理可得:
(4+2α+β)e2x +(1+α+β)xex+(3+2α+β-γ)ex=0,①
因为:y=e2x+(1+x)ex是方程的一个特解,
所以对于任意有定义的x,①式恒成立,
所以有:
4+2α+β=0
1+α+β=0
3+2α+β−γ=0

解得:α=-3,β=2,γ=-1,
故原微分方程的具体表达式为:
y″-3y′+2y=-ex
其对应齐次方程的特征方程为:
λ2-3λ+2=0,
求得特征值为:λ1=1,λ2=2,
对应齐次方程的通解为:
.
y
=C1ex+C2e2x
又因为:非齐次项为-ex,且λ=1为特征根,
所以:可设原微分方程的特解为 y*=Axex
代入原微分方程可得:A=1,
所以:y*=xex
由线性微分方程解的结构定理得原方程的通解为:
y=
.
y
+y*=C1ex+C2e2x+xex
将y=e2x+(1+x)ex代入,可确定常数α、β、γ的取值;利用二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构求其通解.

二阶常系数齐次线性微分方程求解.

本题主要考查了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解,计算过程中主要利用了线性微分方程解的结构定理.

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