已知如图,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2.

已知如图,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2.

题目
已知如图,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2
答案
证明:把△ACF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG.连接EG.
则△ACF≌△ABG.
∴AG=AF,BG=CF,∠ABG=∠ACF=45°.
∵∠BAC=90°,∠GAF=90°.
∴∠GAE=∠EAF=45°,
在△AEG和△AFE中
AG=AF
∠GAE=∠FAE
AE=AE

∴△AEG≌△AFE(SAS).
∴EF=EG,
又∠GBE=90°,
∴BE2+BG2=EG2
即BE2+CF2=EF2
首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG.连接EG,可得△ACF≌△ABG.进而得到AG=AF,BG=CF,∠ABG=∠ACF=45°,然后再证明△AEG≌△AFE可得EF=EG,再利用勾股定理可得结论.

勾股定理;等腰三角形的性质.

此题主要考查了等腰三角形的性质,旋转的性质,关键是证明作出辅助线,证明△AEG≌△AFE.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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