y=2根号(3x+2)+根号(5-6x) 求值域

题目

y=2根号(3x+2)+根号(5-6x) 求值域

答案

设根号(3x+2)=a,根号(5-6x)=b,(a,b≥0)
则 3x+2=a²,5-6x=b².
由以上两式,消掉x,得 2a²+b²=9,即 (2a²/9)+(b²/9)=1
对比sin²θ+cos²θ=1,可设
a=3根号2/2·sinθ,b=3cosθ
由a≥0且b≥0,得θ∈[0,π/2].
所以,y=2a+b=3根号2·sinθ+3cosθ=3根号3·(sinθcosφ+cosθsinφ)=3根号3·sin(θ+φ) 【其中,tanφ=根号2/2】.
∵θ+φ∈[φ,π/2+φ],
∴当θ+φ=π/2时,sin(θ+φ)最大为1；θ=0时,sin(θ+φ)=sinφ=根号3/3,最小.
所以,3≤f(x)≤3根号3.
即 函数f(x)的值域是 [3,3根号3].
这种题似乎只有这样用三角代换来做比较简洁而且准确,用别的方法做很容易忽略函数的定义域,从而导致求出的值域范围大于f(x)本身的值域.