A村在B地正北根号3km,C村与B地相距4km,且在B地的正东方向.已知环形公路PQ上任意一点到B,C距离的和都为8km,现要在公路旁建造一个变电房M分别向A村,C村送电

题目

A村在B地正北根号3km,C村与B地相距4km,且在B地的正东方向.已知环形公路PQ上任意一点到B,C距离的和都为8km,现要在公路旁建造一个变电房M分别向A村,C村送电
1.试建立适当的直角坐标系求环形公路PQ所在曲线的轨迹方程
2.问变电房M应建在A存的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所使用电线最少?并求出最小值

答案

1、以BC中点为原点、BC为x轴建立直角坐标系
由题意PQ的轨迹是以B、C为焦点的椭圆
2a=8 ,2c=4
∴a=4,c=2,b=2√3
x² / 16 + y² / 12 = 1
2、|MA|+|MC| = |MA|+(|MB|+|MC|) - |MB|
= 2a - ( |MB| - |MA| ) ≥ 8 - |AB| = 8-√3
此时M在A的正北方向,距离A 3- √3 km