求证正六边形各边中点连线组成图形仍为正六边形!

题目

求证正六边形各边中点连线组成图形仍为正六边形!

答案

已知：如图,六边形ABCDEF是正六边形,P、Q、R、M、N、K分别是各边的中点,
求证：六边形PQRMNK是正六边形.
证明：连结AC、BD,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠ABC=∠BCD=120°,BA=CB,BC=CD,∠BCA=∠CBD=30°,
∴△ABC≌△BCD,
∴AC=BD,
∵P、Q、R分别是AB、BC、CD的中点,
∴PQ=1/2AC,QR=1/2BD,PQ∥AC,QR=∥BD
∴PQ=QR,∠PQB=∠RQC=30°,
∴∠PQR=120°,
同理可证其他各边相等,各角=120°,
∴六边形PQRMNK是正六边形.