已知f(x)=x2+x+q,若 f(f(x))=0有唯一解,求q

题目

已知f(x)=x2+x+q,若 f(f(x))=0有唯一解,求q

答案

答案是-1/4吧!
首先不妨先把f(f(x))=0里面的f(x)设成a,则问题就形成求f(a)=0有唯一解即a有唯一值.
而作为f(a)=a²+a+q=0有唯一解,当且仅当对应二次函数f(a)=a²+a+q与x轴仅有一个交点
且交点即为对称轴a=-1/2时取得,所以可确定a的值为-1/2
所以问题转化为求f(f(x))=0里面的f(x)=a=-1/2有唯一解
即x2+x+q+1/2=0有唯一解,同上理当且判别值△=1-4（q+1/2）=0时,上式有唯一解
求得q=-1/4