f(x)=(x²+2x+3)/x,求值域

题目

f(x)=(x²+2x+3)/x,求值域

答案

方法多样.
解法一（判别式法）：y=(x²+2x+3)/x,
yx=x²+2x+3,
即x²+(2-y)x+3=0,
令⊿≥0,即可解出y的范围.

解法二（基本不等式）：f(x)=x+3/x +2
因为 x 与3/x 同号,
所以 |x +3/x|=|x| +|3/x|≥2√(|x|·|3/x|)=2√3
所以 x+3/x ≥2√3或 x+3/x≤-2√3
从而 f(x) ≥2+2√3或 f(x)≤2-2√3
即值域为(-∞,2-2√3]∪[2+2√3,+∞)

解法三（导数法,略）