已知F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°． （1）求椭圆离心率的取值范围； （2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
题目
已知F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°．
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
答案
设椭圆方程为
+=1（a＞b＞0），|PF
1|=m，|PF
2|=n．
在△PF
1F
2中，由余弦定理可知，4c
2=m
2+n
2-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m
2+n
2=（m+n）
2-2mn=4a
2-2mn，
∴4c
2=4a
2-3mn．即3mn=4a
2-4c
2．
又mn≤（
）
2=a
2（当且仅当m=n时取等号），
∴4a
2-4c
2≤3a
2，∴
≥
，即e≥
．
∴e的取值范围是[
，1）．
（2）由（1），得mn=
＝b2，
∴
S△F1PF2=
mnsin60°=
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程． 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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