已知F1,F2是椭圆的焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
题目
已知F1,F2是椭圆的焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围;
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
答案
设椭圆方程为
+=1(a>b>0),|PF
1|=m,|PF
2|=n.
在△PF
1F
2中,由余弦定理可知,4c
2=m
2+n
2-2mncos60°.
∵m+n=2a,∴m
2+n
2=(m+n)
2-2mn=4a
2-2mn,
∴4c
2=4a
2-3mn.即3mn=4a
2-4c
2.
又mn≤(
)
2=a
2(当且仅当m=n时取等号),
∴4a
2-4c
2≤3a
2,∴
≥
,即e≥
.
∴e的取值范围是[
,1).
(2)由(1),得mn=
=b2,
∴
S△F1PF2=
mnsin60°=
举一反三
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