设x1,x2,x3… X2006是整数,且满足下列条件;

题目

设x1,x2,x3… X2006是整数,且满足下列条件;
①-1小于等于Xn小于等于2 n=1,2,3…2006
②X1+X2+X3+…+X2006=200
③X1^2+X2^2+X3^2…+X2006^2=2006
求X1^3+X2^3+X3^3…+X2006^3的最小值和最大值

答案

设x1,x2,…,x2006中有a个0,b个-1,c个1,d个2
根据题意得-b+c+2d=200 ①
(-1)²b+1²c+2²d=2006 ②
①+②得:b+3d=1103
∴0≤d≤367(d表示个数不能为负数,不能为小数)
x1³+x2³+...+x2006³=(-1)³b+1³c+2³d
=-b+c+8d ③
由①得-b+c=200-2d ④
④代入 ③得
x1³+x2³+...+x2006³=6d+200
当d=0时有最小值=200
当d=367时有最大值=2402