已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R,y∈R),且f(0)≠1.

题目

已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)(x∈R,y∈R),且f(0)≠1.
（1）求证：f(x)是奇函数
（2）设F(x)=f(tan x).求证：方程F(x)=0至少有一个实根；若方程F(x)=0在(-π/2,π/2)上有n个实根,则n必为奇数.

答案

令x＝y＝0得2f(0)=2f^2(0),于是f(0)=0.（因为f(0)不为1）.再令x＝0得f(y)+f(－y)=2f(0)f(y)=0,因此f(－y)＝－f(y),f是奇函数.显然有F(－x)=f(tan(－x))=f(－tanx)=－f(tanx)=－F(x),F(x)在(－pi/2,pi/2)上是奇函数,...