确定a,b的值,使得当x→0时,f(x)=x-(a+bcosx)sinx成为x^5的同价无穷小量
题目
确定a,b的值,使得当x→0时,f(x)=x-(a+bcosx)sinx成为x^5的同价无穷小量
答案
分别将cosx与sinx在0点泰勒展开.
因为只要考虑x^5的同阶无穷小量,根据原式,我们只需作如下近似展开:
cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4)
sinx=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)
代入原式,我们有
f(x)=x-[a+b(1-x^2/2+x^4/24+o(x^4))]*[x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)]
=(1-a-b)*x - (a/6 + 2b/3)*x^3 + (a/120 + 2b/15)*x^5 + o(x^5)
所以,1-a-b=0,a/6 + 2b/3=0,a/120 + 2b/15≠0.
解得,a=4/3,b=-1/3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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