若n为正整数,求证n∧5-5n³+4n能被120整除

题目

若n为正整数,求证n∧5-5n³+4n能被120整除

答案

证明：n^5-5n³+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
因为n为正整数,当n小于或等于2时,该算式的值为0,能被120整除.
当n大于2时,该算式就是5个连续的自然数相乘,由常识可知,5个连续的自然数中至少有1个1个倍数、1个2的倍数、一个3的倍数、一个4的倍数、一个5的倍数,这样他们的成绩至少是120的倍数.因此该等式是能被120整除的.