计算对坐标的曲线积分∫c xy^2dy-x^2ydx ,其中C是圆周 上从点A（2,0）到点B（-2,0）的一段弧.

题目

计算对坐标的曲线积分∫c xy^2dy-x^2ydx ,其中C是圆周 上从点A（2,0）到点B（-2,0）的一段弧.

答案

方法一：格林公式
对圆周补线段AB：y=0,x：-2--->2,这样c+AB就是封闭曲线了
∮(c+AB) xy²dy-x²ydx
=∫∫(y²+x²)dxdy 积分区域为：x²+y²=2,上半圆
用极坐标
=∫[0--->π]dθ∫[0--->√2] r³dr
=π*(1/4)r⁴ |[0--->√2]
=π
下面计算AB上的积分
∫(AB) xy^2dy-x^2ydx=∫[-2---->2] 0dx=0
因此原积分=π-0=π
方法二：将c写为参数方程得：x=√2cost,y=√2sint,t：0---->π
代入原积分：
∫c xy^2dy-x^2ydx
=∫[0--->π] (4cos²tsin²t+4cos²tsin²t)dt
=2∫[0--->π] sin²2tdt
=∫[0--->π] (1-cos4t)dt
=t-1/4sin4t |[0--->π]
=π