设有N个袋子,每个袋子中装有a个白球,b个黑球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后再从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一袋中取出黑球的概率是多少?

题目

设有N个袋子,每个袋子中装有a个白球,b个黑球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后再从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一袋中取出黑球的概率是多少?

答案

设从第i个袋子中取出的球为Xi,i=1,2...,n
于是从第一袋中取出一球 X1 放入第二袋中,第二个袋中,有a个白球,b个黑球,和一个未知球X1,其中,
P(X1=白)=a/(a+b).==>
P(X2=白）=P(X2=白,同时取到袋中原来的球）+P（X2=白,同时X2=X1）
=P(X2=白,同时取到袋中原来的球）+P（X1=白,同时X2=X1）
= a/(a+b) * （a+b)/(a+b+1) + a/(a+b) * 1/(a+b+1)
= a/(a+b)
同理类推：
由 P(X2=白)=a/(a+b).==>P(X3=白)=a/(a+b).
.
====》
P(Xn=白）=a/(a+b)
即从最后一袋中取出黑球的概率是a/(a+b)