在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B、Q、D1三点共线．

题目

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设线段A₁C与平面ABC₁D₁交于Q，求证：B、Q、D₁三点共线．

答案

证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
ABC₁D₁是矩形，BD₁在矩形所在平面α内，
A₁BCD₁是矩形，BD₁在矩形的所在平面β内，
∴BD₁是平面α与平面β相交直线（平面α与平面α的交集）
∵A₁C与平面ABC₁D₁交于点Q，（直线与平面的交集）
∴Q是矩形A₁BCD₁对角线A₁C的中点，
矩形A₁BCD₁另一对角线BD₁，必过Q点．
（同矩形的二对角线只有一个交点且平分二对角线）
∴B、Q、D₁三点共线．