如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为( ) A.3 B.23 C.33 D.3
题目
如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为( )
A.
B. 2
C. 3
D. 3
答案
由题意知,底面圆的直径AB=4,
故底面周长等于4π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=
,
解得n=120°,
所以展开图中∠APD=120°÷2=60°,
因为半径PA=PB,∠APB=60°,
故三角形PAB为等边三角形,
又∵D为PB的中点,
所以AD⊥PB,在直角三角形PAD中,PA=6,PD=3,
根据勾股定理求得AD=3
,
所以蚂蚁爬行的最短距离为3
.
故选C.
要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
平面展开-最短路径问题.
圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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