函数F（X）,X属于R,若对于任意实数X1,X2都有F（X1+X2）+F（X1-X2）=2F（X1）F（X2）求证F（X）为偶函数

题目

函数F（X）,X属于R,若对于任意实数X1,X2都有F（X1+X2）+F（X1-X2）=2F（X1）F（X2）求证F（X）为偶函数

答案

要证f(-x)=f(x)
设x2=0
2f(x1)=2f(x1)f(0)
=>f(0)=1
设x1=0
f(x2)+f(-x2)=2f(0)f(x2)
=>f(x2)+f(-x2)=2f(x2)
从而f(-x2)=f(x2)
因为对于任何x属于r都成立
所以f(-x)=f(x)