若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则AP • (PB+PD)的取值范围是 _．

题目

若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则

AP

 • (

PB

+

PD

)的取值范围是 ______．

答案

以AB，AC 为x，y轴建立直角坐标系则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设P（x，x）（0≤x≤1）AP＝(x，x)， PB＝(1−x，−x)，PD＝(−x，1−x)∴AP• (PB+PD)=2x（1-2x）=−4(x−14)2+14  ...

借助正方形的两邻边建立直角坐标系，将向量的运算转化为坐标形式的运算，利用向量的坐标形式的数量积公式表示成二次函数，通过配方找出对称轴，求出最值．

本题考点：平面向量数量积的运算．

考点点评：通过建立坐标系将向量问题转化为代数问题；向量的坐标形式的数量积公式；配方法求二次函数的最值．