设A为n阶反称矩阵,证明:如果 入.是矩阵A的特征值,则 -入.也是A的特征值.

题目

设A为n阶反称矩阵,证明:如果 入.是矩阵A的特征值,则 -入.也是A的特征值.

答案

由已知,|A-λE| = 0
又因为 A^T=-A
所以有 |A+λE|
= |(A+λE)^T|
= |A^T+λE|
= |-A+λE|
= (-1)^n |A-λE|
= 0
所以 -λ 也是A的特征值.