已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(1)若函数f(x)在区间【-1,0】上是单调减函数,求
题目
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(1)若函数f(x)在区间【-1,0】上是单调减函数,求
a^2+b^2的最小值 (2)若函数f(x)的三个零点分别为:根号(1-t),1,根号(1+t),求证:a^2=2b+3
答案
(1)f(x)=3x^2+2ax+b,
由题意f(1)≤0,f(0)≤0,即3-2a+b≤0,b≤0
当a大于0,b小于0时,由均值不等式,√(((a^2/4)+(a^2/4)+(a^2/4)+(a^2/4)+b^2)/5)≥(2a-b)/5=3/5(注意到a>0,b<0)
所以a^2+b^2≥9/5,当且仅当a=6/5,b=-3/5时取等
当a≤0时,b≤2a-3≤-3,所以a^2+b^2≥b^2≥9>9/5,
当b=0时,a≥3/2,a^2+b^2≥9/4>9/5
综上,a^2+b^2的最小值为9/5
(2)由高次方程韦达定理,a=√(1-t)+1+√(1+t),b=√(1-t)+√(1+t)+√(1-t)(1+t),
所以a^2=1-t+1+1+t+2√(1-t)+2√(1+t)+2√(1-t)(1+t)=2b+3
证毕
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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