若函数f(x)=x2+ax+3,当x∈（1,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围

题目

若函数f(x)=x2+ax+3,当x∈（1,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围

答案

题意即当x∈(1,2]时,x²+ax+(3-a)≥0恒成立
整理成关于a的不等式：a(x-1)≥-x²-3
因为x-1∈(0,1],所以两边同除以(x-1)：
得到a≥-(x²+3)/(x-1)恒成立
所以我们只需要求出(x²+3)/(x-1)的最小值：
(x²+3)/(x-1)=【(x-1)²+2(x-1)+4】/(x-1)=(x-1)+4/(x-1)+2≥7
所以a≥-7