AB为圆O的直径,D是弧BC中点,DE垂直于AC交AC延长线于E,圆O的切线BF交AD的延长线于F若DE为3圆O半径为5求AD

题目

AB为圆O的直径,D是弧BC中点,DE垂直于AC交AC延长线于E,圆O的切线BF交AD的延长线于F若DE为3圆O半径为5求AD
DE为切线

答案

D是弧BC中点,弧BD=弧DC,
所以圆周角BAD=圆周角DAC=角DAE,
作DG垂直于AB交AB于G,
角DGA=90度;
DE垂直于AC交AC延长线于E,故角DEA=90度,
角ADG=90度-角BAD;
角ADE=90度-角DAE;
角ABD=角ADE,
AD=AD
直角三角形AGD≌直角三角形AED,(ASA);
所以DG=DE=3,
AB为圆O的直径,连接BD,则角ADB=90度,
直角三角形ADB的面积=AB*DG/2=BD*AD/2,
BD*AD=AB*DG=10*3=30,
√(AB²-AD²)*AD=30,
(10²-AD²)*AD²=900,
AD^4-100AD²+900=0,
(AD²-10)(AD²-90)=0,
结果1,AD²=10,AD=√10,BD=30/AD=3√10=3AD,
结果2,AD²=90,AD=3√10,BD=30/AD=√10=AD/3,
因为没有图,假设弧BC在AB的同一侧(一般情况),弧BC最大时=弧AB,此时BD最大=AB/√2=5√2,而BD=3√10时,3√10>5√2,此时结果1应该舍去.
因此结果2正确,故AD=3√10.