111.1是由1组成的自然数,如果111.1=17*A（N个1,N个A都是自然数）

题目

111.1是由1组成的自然数,如果111.1=17*A（N个1,N个A都是自然数）
试问：N最小是多少?这时A=?

答案

我们把1,11,111,1111……排成数列,将他们同时模17,即除以17的余数排成数列,得
1,11,9,6,10,16,8,13,12,2,4,7,3,14,5,0,1,11……是一个周期数列,而且每一项都是0~16的整数.因为1111=111*10+1,所以1111对应的余数是111对应的余数的10倍加1,即9*10+1=91,而91除以17还有余数6,所以那一项取6.这样以此类推得N=16时能整除
结果为A=65359477124183