已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf′(x)-f(x)≥0,对任意正数a,b,若a>b,则必有( ) A.af(a)≤bf(b) B.bf(b)≤af(a) C.af(b)≤bf
题目
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf′(x)-f(x)≥0,对任意正数a,b,若a>b,则必有( )
A. af(a)≤bf(b)
B. bf(b)≤af(a)
C. af(b)≤bf(a)
D. bf(a)≤af(b)
答案
F(x)=
,
可得F'(x)=
[xf′(x)-f(x)],
又由xf′(x)-f(x)≥0,分2种情况讨论:
①xf′(x)-f(x)>0,所以 F'(x)>0即F(x)是增函数,
即当a>b>0时,F(a)>F(b),
∴
<
,从而af(b)<bf(a);
②xf′(x)-f(x)=0,所以F(x)是常数函数,
有
=
,即af(b)=bf(a);
综合有af(b)≤bf(a);
故选C;
令F(x)=
,对其进行求导,根据xf′(x)-f(x)≥0,证明F(x)是增函数,利用单调性进行求解;
导数的乘法与除法法则.
本题考查函数的单调性和导数的关系,解题时要认真审题,注意导数的合理运用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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