已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0,f(1)=1,若x∈[m,n]时f(x)的值域也为[m,n],求m,n.

已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0,f(1)=1,若x∈[m,n]时f(x)的值域也为[m,n],求m,n.

题目
已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0,f(1)=1,若x∈[m,n]时f(x)的值域也为[m,n],求m,n.
答案
由f(1+x)=f(1-x)可知二次函数函数f(x)的对称轴为x=1,
又因f(0)=0,f(1)=1,则f(x)=-(x-1)2+1≤1,∴n≤1
∴f(x)在区间[m,n]上单调递增
f(m)=m
f(n)=n
m2+2m=m
n2+2n=n

而m<n,所以m=0,n=1;
故答案为0,1.
二次函数f(x)可以利用待定系数法求出函数解析式,注意到函数自身的最大值是1,能发现f(x)在区间[m,n]上单调递增,根据单调性建立等量关系.

二次函数的图象;二次函数的性质.

本题考查了函数解析式的求解,以及利用单调性求解函数的值域,属基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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