直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=3 （1）求证：平面AB1C⊥平面B1CB； （2）求三棱锥A1-AB1C的体积．

题目

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，AB₁=

3

（1）求证：平面AB₁C⊥平面B₁CB；    
（2）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

答案

（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
则BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，（3分）
又由于AC=BC=BB₁=1，AB₁=

3

，则AB=

2

则由AC²+BC²=AB²可知，AC⊥BC，（6分）
又由上BB₁⊥底面ABC可知BB₁⊥AC，则AC⊥平面B₁CB，
所以有平面AB₁C⊥平面B₁CB；（9分）
（2）三棱锥A₁-AB₁C的体积VA1−AB1C ＝VB1−A1AC＝

1

3

×

1

2

×1＝

1

6

（1）要证平面AB₁C⊥平面B₁CB，根据面面垂直的判定定理，只要在平面平面AB₁C内找一直线垂直平面B₁CB，根据已知条件可证BB₁⊥AC，AC⊥BC，从而可得
（2）由（1）可知B₁C₁⊥平面A₁AC，故考虑利以B₁为顶点求解体积，即利用VA1−AB 1C ＝VB 1−A 1AC 进行求解

本题考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题主要考查了面面垂直的判定，线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，利用换顶点求解三棱锥的体积，这是高考在立体几何（尤其文科）的考查重点．