已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： （1）AC⊥平面B1D1DB； （2）BD1⊥平面ACB1．

题目

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：

（1）AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）BD₁⊥平面ACB₁．

答案

证明：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥BB₁，
又∵AC⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）∵AC⊥平面BDD₁B₁，
又BD₁⊂平面BDD₁B₁，
∴AC⊥BD₁，同理可证AB₁⊥BD₁，
∵AC与AB₁是平面ACB₁内的两条相交直线，
∴BD₁⊥平面ACB₁．