设平面π 过点A(2,0,0)、B(1,2,1)、C(−1,1,2),则π 的法向量n = .

题目

设平面π 过点A(2,0,0)、B(1,2,1)、C(−1,1,2),则π 的法向量n = .

答案

设平面π 过点A(2,0,0)、B(1,2,1)、C(−1,1,2),则π 的法向量n = .
设所求平面的法向矢量为{M,N,P},其中M、N、P不同时为零,因为平面过B(1,2,1)
故平面方程可写为M(x-1)+N(y-2)+P(z-1)=0.(1)
又因为A(2,0,0)和C(-1,1,2)也在此平面上,故得下列两个条件：
M(2-1)+N(0-2)+P(0-1)=0；M(-1-1)+N(1-2)+P(2-1)=0；化简得：
M-2N-P=0.(2)
-2M-N+p=0.(3)
由(1)(2)(3)组成的关于M、N、P的齐次方程组有非零解的条件为下面的三阶行列式＝0,即
∣x-1.y-2.z-1∣
∣1.-2.-1..∣=0
∣-2.-1.1.∣
展开得(x-1)(-2-1)-(y-2)(1-2)+(z-1)(-1-4)= -3(x-1)+(y-2)-5(z-1)=0
即 -3x+y-5z+6=0为该平面的方程,其法向量n={-3,1,-5}