设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为（　　） A.-1 B.-2 C.1 D.2

题目

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n，则a₁+a₂+…+a₉₉的值为（　　）
A. -1
B. -2
C. 1
D. 2

答案

∵y′=（n+1）xⁿ，∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线的斜率为y′|_x=1=n+1．
∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0，得x_n=1−

1

n+1

＝

n

n+1

．
∴a_n=lgx_n=lg

n

n+1

=lgn-lg（n+1），
∴a₁+a₂+…+a₉₉=（lg1-lg2）+（lg2-lg3）+…+（lg99-lg100）
=lg1-lg100
=-2．
故选B．