已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,[2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=an*a(n+1).

已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,[2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=an*a(n+1).

题目
已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,[2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=an*a(n+1).
(1)求证:数列{an-1/an}是一个等比数列(此问我已经做出来了)
(2)求数列{an}的通项公式
(3)设Sn=a1^2+a2^2+.an^2,Tn=1/a1^2+1/a2^2+.1/an^2,试求Sn+Tn,并确定最小的n使Sn+Tn为整数
求(2)(3)过程及正确答案!
答案
[2a(n+1)-an]/[2an-a(n+1)]=an*a(n+1)
左右同除以an*a(n+1)再去分母:
2/an-1/a(n+1)=2an-a(n+1)
移项:a(n+1)-1/a(n+1)=2(an-1/an)
∴数列{an-1/an}是一个等比数列,公比q=2
首项=a1-1/a1=8/3
(2)an-1/an=(a1-1/a1)·q^(n-1)=4/3·2^n
左边去分母并移项:3an²-2^(n+2)·an-3=0
解关于an的二元一次方程(注意an>0):
an={ 2^(n+1)+√[4^(n+1)+9] }/3 (n=1时代入验证,a1=3成立)
(3)由于an-1/an=4/3·2^n
两边平方:an²-2+1/an²=16/9·4^n
∴an²+1/an²=16/9·4^n +2
∴Sn+Tn
=(a1²+1/a1²)+(a2²+1/a2²)+(a3²+1/a3²)+……+(an²+1/an²)
=2n+16/9·[4+4^2+4^3+……+4^n]
=2n+64/27·(4^n-1)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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