对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于0,则x的范围是( ) A.x<1或x>2 B.1<x<2 C.x<1或x>3 D.1<x<3
题目
对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于0,则x的范围是( )
A. x<1或x>2
B. 1<x<2
C. x<1或x>3
D. 1<x<3
答案
原问题可转化为关于a的一次函数y=a(x-2)+x
2-4x+4>0在a∈[-1,1]上恒成立,
只需
| (−1)•(x−2)+x2−4x+4>0 | 1×(x−2)+x2−4x+4>0 |
| |
,
∴
,
∴x<1或x>3.
故选C.
把二次函数的恒成立问题转化为y=a(x-2)+x2-4x+4>0在a∈[-1,1]上恒成立,再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围.
二次函数的性质.
此题是一道常见的题型,把关于x的函数转化为关于a的函数,构造一次函数,因为一次函数是单调函数易于求解,对此类恒成立题要注意.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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