已知(√x-2/x^2)^2(n∈N*)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数的比是10:1

题目

已知(√x-2/x^2)^2(n∈N*)的展开式中的第五项的系数与第三项的系数的比是10:1
（1）求展开式中的各项系数之和
（2）求展开式中含x^3/2的项
（3）求二项式系数最大项和展开式中系数最大的项

答案

(√x-2/x^2)^n
第五项
T5=C(n,4)(√x)(n-4)(-2/x^2)^4
系数=C(n,4)*（-2）^4
第三项
T3=C(n,2)(√x)(n-2)(-2/x^2)^2
系数=C(n,2)*（-2）^2
系数的比
=C(n,4)*（-2）^4:C(n,2)*（-2）^2
=(n-2)(n-3)/3:1
=10:1
∴(n-2)(n-3)/3=10
n^2-5n-24=0
(n-8)(n+3)=0
n=8
(√x-2/x^2)^8
（1）求展开式中的各项系数之和
令x=1
展开式中的各项系数之和=(1-2)^8=1
（2）求展开式中含x^3/2的项
T(k+1)=C(8,k)(√x)^(8-k)(-2/x^2)^k
(8-k)/2-2k=3/2
k=1
T2=8*(-2)x^(3/2)
=-16x^(3/2)
（3）求二项式系数最大项和展开式中系数最大的项
二项式系数最大项
∵n=8是偶数
∴k=n/2=4
二项式系数最大项是第k+1项即第5项
展开式中系数最大的项
T(k+1)=C(8,k)(-2)^k
只有奇数项系数才能是正数
∴k+1=1,3,5,7,9中选出
即k=0,2,4,6,8,
只需比较后3者即可
C(8,4)2^4=70*2^4=1120
C(8,6)2^6=28*2^6=1792
C(8,8)2^8=2^8=256
∴第7项系数最大