曲线y=1+4−x2与直线l:y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是( ) A.(512,+∞) B.(13,34] C.(0,512) D.(512,34]
题目
曲线
y=1+与直线l:y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A.
(,+∞)B.
(,]C.
(0,)D.
(,]
答案
根据题意画出图形,如图所示:
由题意可得:直线l过A(2,4),B(-2,1),
又曲线
y=1+图象为以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,
当直线l与半圆相切,C为切点时,圆心到直线l的距离d=r,即
=2,
解得:k=
;
当直线l过B点时,直线l的斜率为
=
,
则直线l与半圆有两个不同的交点时,实数k的范围为
(,].
故答案为:
(,]要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围,主要求出斜率的取值范围,方法为:曲线
y=1+表示以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,在坐标系中画出相应的图形,直线l与半圆有不同的交点,故抓住两个关键点:当直线l与半圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值;当直线l过B点时,由A和B的坐标求出此时直线l的斜率,根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围.
直线与圆相交的性质.
此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:恒过定点的直线方程,点到直线的距离公式,以及直线斜率的求法,利用了数形结合的思想,其中抓住两个关键点是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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