如图,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半,则∠MAN=_.

如图,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半,则∠MAN=_.

题目
如图,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半,则∠MAN=______.
答案
把△ADN绕着点A按顺时针方向旋转90°后,得到△ABE,
∴AE=AN,BE=DN,∠ABE=∠D=90°,∠NAE=90°,
而∠ABC=90°,
∴点M、B、E共线,
∴ME=BE+BM=DN+BM,
∵△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半,
∴MN+NC+MC=DC+BC=DN+NC+MC+BM,
∴MN=DN+BM,
∴MN=ME,
在△MAN和△MAE中,
AN=AE
MN=ME
AM=AM

∴△MAN≌△MAE(SSS),
∴∠NAM=∠EAM,
∴∠MAN=
1
2
∠NAE=45°.
故答案为45°.
把△ADN绕着点A按顺时针方向旋转90°后,得到△ABE,根据旋转的性质得到AE=AN,BE=DN,∠ABE=∠D=90°,∠NAE=90°,由∠ABC=90°得到点M、B、E共线,则ME=BE+BM=DN+BM,再利用△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半可得到MN=DN+BM,然后根据“SSS”可证明△MAN≌△MAE,则∠NAM=∠EAM,于是可计算出∠MAN=
1
2
∠NAE=45°.

旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了三角形全等的判定与性质以及正方形的性质.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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