已知e1,e2,e3为空间的一个基底,且op=2e1-e2+3e3,oa=e1+2e2-e3,ob=-3e1+e2+2e3,oc=e1+e2+e3

题目

已知e1,e2,e3为空间的一个基底,且op=2e1-e2+3e3,oa=e1+2e2-e3,ob=-3e1+e2+2e3,oc=e1+e2+e3
1.p,a,b,c四点是否共面
2.能否以｛oa,ob,oc｝作为空间的一个基底?若能,试表示向量op

答案

（1）假设四点共面,则存在实数x,y,z使 OP→=xOA→+yOB→+zOC→,
且x+y+z=1,
即2e1-e2+3e3=x（e1+2e2-e3）+y（-3e1+e2+2e3）+z（e1+e2-e3）．（4分）
比较对应的系数,得一关于x,y,z的方程组
{x-3y+z=2
{2x+y+z=-1
{-x+2y-z=3
解得
{x=17
{y=-5
{z=-30
与x+y+z=1矛盾,故四点不共面；（6分）
（2）若向量 OA→,OB→,OC→共面,则存在实数m,n使 OA→=mOB→+nOC→,
同（1）可证,这不可能,
因此 {OA→,OB→,OC→}可以作为空间的一个基底,
令 OA→=a,OB→=b,OC→=c,
由e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c联立得到方程组,
从中解得
{e1=3a-b-5c
{e2=a-c
{e2=4a-b-7c.（10分）
所以 OP→=17OA→-5OB→-30OC→．（12分）