数列an中,a1=1,且an+a(n+1)=2的n次方,则S9-2S10=?

题目

数列an中,a1=1,且an+a(n+1)=2的n次方,则S9-2S10=?

答案

由题知,
数列an中,a1=1,
且an+a(n+1)=2^n
由a(n+1)+a(n+2)=2^(n+1)
所以,a(n+2)-a(n+1)-2an=0
由特征方程λ²-λ-2=0得
λ1=-1,λ2=2
所以,
an=c1(-1)^n+c2(2)^n
而
-c1+2c2=1
c1+4c2=1
所以,c1=-1/3,c2=1/3
所以,an=(-1/3)*(-1)^n+(1/3)*(2^n)
所以,a10=341
S9-2S10
=S9-S10-S10
=-a10-S10
=-a10-(a1+a2+a3+...+a10)
=-a10-(2^1+2^3+2^5+2^7+2^9)
=-1023